Van wie is de dodelijke XTC-pil?
Een aantal jaar geleden was er een dodelijke XTC-pil in omloop op het Amsterdam Dance Event. Het ging om een roze pil met daarop een Superman-logo waar een zeer hoge dosis PMMA in aanwezig was. De politie was uiteraard op zoek naar de dealer die verantwoordelijk is voor deze pillen. Iemand oppakken en hiervan beschuldigen is alleen nog niet zo makkelijk. Stel dat de politie een dealer oppakt met een grote voorraad roze pillen waar ook een Superman-logo op staat. Kan je dan met zekerheid zeggen dat dit ook echt dé dodelijke pillen van het festival zijn? Of hadden ze toevallig hetzelfde uiterlijk?
Hoe houd je rekening met toeval?
Uiteindelijk moet de rechter beslissen of de verdachte schuldig is of niet. Forensisch experts van de politie verzamelen en onderzoeken daarom eerst het bewijsmateriaal. In dit geval bestaat dat bijvoorbeeld uit gegevens over het logo, de kleur en het gewicht van de pillen. Deze gegevens kunnen alleen niet direct als bewijsmateriaal worden gebruikt. De rechter moet namelijk altijd rekening houden met een toeval-scenario: de pillen hebben toevallig hetzelfde gewicht als de dodelijke pillen, maar de verdachte is onschuldig.
Van scenario naar bewijs
Hoe kan de rechtbank rekening houden met toeval? Het antwoord is kansrekening en statistiek. Wiskundigen kunnen de kans op toeval berekenen, zodat de rechter deze kans kan gebruiken in zijn uitspraak.
Laten we als voorbeeld het gewicht van de pillen nemen. Forensisch experts concluderen bijvoorbeeld dat het gewicht van de pillen van de verdachte 240 mg is. Daarnaast is het gewicht van de pillen op het festival ook vastgesteld op 240 mg. Er is dus een match, maar we moeten ook de kans berekenen dat dit toevallig hetzelfde gewicht is. Deze kans wordt genoteerd als P(toeval) en komt neer op de kans dat een willekeurige pil een gewicht heeft van 240 mg.
Waar wordt de normale verdeling dan voor gebruikt?
De forensisch experts bepalen een kansverdeling voor de variabele “gewicht” door de gegevens te bekijken van het gewicht van alle inbeslaggenomen pillen uit het verleden. In dit soort gevallen blijkt het vaak om de normale verdeling te gaan, omdat de pillen gemiddeld ongeveer hetzelfde gewicht hebben met symmetrische afwijkingen links en rechts van het gemiddelde. De forensisch experts stellen dus een passende normale verdeling op voor het gewicht van alle XTC-pillen en op basis van deze normale verdeling kan de toevalskans berekend worden.
Laten we wat beter kijken naar het opstellen van zo’n normale verdeling. Forensisch experts gebruiken hiervoor de gegevens van alle inbeslaggenomen XTC-pillen uit het verleden. Deze gegevens worden in een frequentietabel gezet zoals hieronder
De experts gaan eerst na of deze gegevens inderdaad normaal verdeeld zijn. Vervolgens kan het gemiddelde en de standaardafwijking worden bepaald. In opdracht 1 zie je hoe dat gaat.
Gewicht is een continue variabele en bij continue variabelen bereken je de kans dat de variabele tussen twee grenzen in zit. Daarom bereken je bijvoorbeeld de kans P(pil heeft een gewicht tussen 239 mg en 241 mg). Zoals je weet is deze kans gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek van de normale verdeling tussen de grenzen 239 en 241 mg.
Zo kun je berekenen dat de kans op toeval gelijk is aan 0,048. Bekijk opdracht 2 om te bekijken hoe dat gaat. De rechter krijgt dus voor het bewijsstuk “gewicht” te horen dat de kans op toeval 4,8% is.
Uiteindelijk wordt voor ieder bewijsstuk de kans op het toeval-scenario berekend. Een ander bewijsstuk is bijvoorbeeld de dosis PMMA in de xtc-pil. Met behulp van een wiskundig computermodel kan de rechter alle kansen netjes combineren zodat hij tot een weloverwogen uitspraak kan komen. De wiskunde die in dit artikel is beschreven wordt “forensische statistiek” genoemd.
Opdracht 1
De forensisch onderzoekers hebben de frequentietabel hieronder opgesteld op basis van pillen die in het verleden in beslag zijn genomen. Bereken met behulp van je Grafische Rekenmachine wat het gemiddelde en de standaardafwijking is. Rond af op gehelen.
Voer in
De optie 1-VarStats (TI) of 1-VAR (casio) geeft
Dus het gemiddelde is 230 mg en de standaardafwijking is 10 mg.
Opdracht 2
De forensisch onderzoekers berekenen de kans dat het gewicht van de pillen tussen de 239 en 241 mg zit. Bereken deze kans.
Voer in
