Hoe goed worden operaties uitgevoerd?
Stel dat we naar levertransplantaties kijken in een ziekenhuis. Een transplantatie van een lever is niet zonder risico’s, want soms slaat de transplantatie niet goed aan. Het is daarom belangrijk om bij te houden hoe “goed” een ziekenhuis deze operatie heeft uitgevoerd de afgelopen jaren. Hiervoor wordt een handige grafiek gebruikt waar de cumulatieve som een rol in speelt: de Cusum-grafiek.
Hoe werkt een Cumsum-grafiek?
Om bij te houden hoe goed een ziekenhuis de transplantaties heeft uitgevoerd, wordt aan iedere patiënt een score van 0 of 1 gegeven. Een patiënt krijgt een score van 1 (strapunt) als de transplantatie binnen een jaar mislukt. Is de transplantatie succesvol? Dan krijgt de patiënt een score van 0 toegewezen. Het ziekenhuis houdt steeds de totaalscore bij door de scores van de patiënten cumulatief bij elkaar op te tellen. Om dit proces wat inzichtelijker te maken wordt dit geplot in de Cumsum-grafiek zoals hieronder.
Cumulatieve som grafiek met strafpunten. Bron: Stéphanie van der Pas.
Ieder punt in de grafiek staat voor een patiënt die een transplantatie heeft ondergaan. Je ziet bij de “negatieve” patiënten de grafiek steeds met 1 stijgen, doordat de transplantatie niet is gelukt. Bij de “positieve” patiënten was de transplantatie wel succesvol en wordt de cumulatieve som niet opgehoogd, zodat de Cumsum-grafiek op dezelfde waarde blijft.
Wanneer moet er alarm worden geslagen?
Er wordt alarm geslagen als de grafiek een bepaalde grens overschrijdt. Dat gebeurt dus als er veel “negatieve” patiënten in de cumulatieve som aanwezig zijn. Of anders gezegd: de transplantatie is bij te veel patiënten mislukt. Hieronder zie je een voorbeeld waarbij het ziekenhuis de grens heeft vastgesteld op een score van 5. In de grafiek zie je dat er na de tiende patiënt alarm wordt geslagen.
Cumulatieve som grafiek met strafpunten en alarm. Bron: Stéphanie van der Pas.
Het ziekenhuis moet wel onderzoek doen naar de vraag: hoe hoog wordt de grens? Dat is een belangrijke vraag. Als je de grens te hoog legt, dan sla je te laat alarm. Maar leg je de grens te laag, dan is er een grote kans op een vals alarm: het ziekenhuis gaat nu de kwaliteit van de operaties onderzoeken terwijl dit eigenlijk niet noodzakelijk was.
Maar toch niet elke patiënt is hetzelfde?
Er bestaan verschillende variaties van de Cusum-grafiek. Dat komt onder andere doordat het risico op een mislukte transplantatie bij patiënten kan verschillen door hun medische situatie. Laten we voor het gemak zeggen dat we onderscheid kunnen maken tussen patiënten die heel ziek zijn en patienten die wat minder ziek zijn. In het plaatje hieronder zie je een nieuwe Cusum-grafiek.
Cumulatieve som grafiek met patiënt afhankelijke strafpunten. Bron: Stéphanie van der Pas.
Je ziet nu dat de eerste twee patiënten allebei strafpunten krijgen, maar patiënt 1 krijgt minder strafpunten dan patient 2. Bij patiënt 1 was de operatie mislukt maar het risico was bij deze patiënt hoger doordat de patiënt heel ziek was. De tweede patient had minder risico, maar toch was de transplantatie mislukt. Dat levert dus meer strafpunten op.
Kan je ook bonuspunten krijgen?
De Cusum-grafieken van hierboven geven een neutrale score van 0 als de operatie succesvol was. Het is ook mogelijk om de grafiek weer te laten dalen bij een succesvolle operatie. Er wordt dan niet gesproken van strafpunten maar van “credits”. Ook hier geldt weer dat het aantal credits kan afhangen van hoe ziek een patiënt was voorafgaand aan de operatie. Hieronder een voorbeeld van een Cusum-grafiek met credits.
Cumulatieve som grafiek met credits en patiënt afhankelijke strafpunten. Bron: Stéphanie van der Pas.
We zien dat de Cusum-grafiek bij patiënt 3 en patiënt 4 daalt omdat de transplantatie succesvol was. Bij patiënt 3 worden echter minder credits voor deze succesvolle transplantatie gegeven, omdat deze patiënt niet heel erg ziek was. Het risico op mislukking was bij deze patiënt lager dan bij de vierde patiënt die heel erg ziek was. De vierde patiënt krijgt daarom meer credits: er wordt een betere prestatie geleverd als de operatie lukt bij een patiënt die heel ziek is.
Bij het gebruik van credits komt er wel een extra voorwaarde in het spel: de grafiek mag niet onder de waarde 0 komen. Als een ziekenhuis te veel credits op zou bouwen (grafiek ver onder de waarde 0), dan kan het te lang duren voordat er alarm wordt geslagen. Het zou dan bijvoorbeeld mogelijk kunnen zijn dat er te veel mislukte transplantaties achter elkaar plaatsvinden zonder dat er alarm wordt geslagen.
Wiskundig onderzoek
Het aantal strafpunten of credits kan dus afhangen van de medische situatie van de patiënt. Maar hoe bepaal je precies hoeveel strafpunten of credits je toekent? Daar komt veel wiskundig onderzoek bij kijken waarbij naar bepaalde risicomodellen wordt gekeken. Naast het bepalen van het aantal strafpunten zijn er ook andere interessante vraagstukken zoals: “wanneer wil je eigenlijk alarm slaan?” of “welk type Cusum-grafiek past het beste bij levertransplantaties?”. Bekijk het profiel van Stéphanie om meer te lezen over wiskundig onderzoek in het ziekenhuis.